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二叉查找树的解读和实现

算法 winrains 来源:杨滔 11个月前 (11-26) 41次浏览

BST

二叉查找树是将一组无序的数据构建成一颗有序数据的树,其设计思想与二分法类似。很好的提高了海量数据查找效率,使得由从头遍历到尾的方式转为二分查找的方式,时间复杂度从O(n)降低为O(log(n))。

概念

  1. 结点:树上的每个元素。
  2. 根结点:没有父结点的结点。
  3. 父结点:结点的上一级结点。
  4. 子结点:结点的下一级结点。
  5. 叶子结点:没有子结点的结点。
  6. 兄弟结点:拥有同一父结点的相邻结点。
  7. 结点的度:一个结点中拥有子结点的个数。
  8. 树的度:树上最大结点的度。
  9. 结点的层次:以根结点为1,每深入一个子结点层次加1。
  10. 树的高度:树中最大的结点的层次。

特性

  1. 左子树所有的结点值均小于,等于根结点值或为空。
  2. 左子树所有的结点值均大于,等于根结点值或为空。
  3. 左、右子树也分别为二叉排序树。
  4. 没有键值相等的结点。

构建

构建二叉查找树,主要把握几条原则,小于当前结点的在左边,大于的在右边,相等的不予处理。但是情况下结合实际业务需求,也可在相等时放在左结点或右结点,但是必须统一规则,不能左右都存在相等的。
创建结点对象:

package com.ytao.bst;
/**
 * Created by YANGTAO on 2019/11/3 0003.
 */
public class Node {
    private Integer value;
    private Node leftChildren;
    private Node rightChildren;
    public Integer getValue() {
        return value;
    }
    public void setValue(Integer value) {
        this.value = value;
    }
    public Node getLeftChildren() {
        return leftChildren;
    }
    public void setLeftChildren(Node leftChildren) {
        this.leftChildren = leftChildren;
    }
    public Node getRightChildren() {
        return rightChildren;
    }
    public void setRightChildren(Node rightChildren) {
        this.rightChildren = rightChildren;
    }
    public Node(Integer value) {
        this.value = value;
    }
}

创建树的实现:

package com.ytao.bst;
/**
 * Created by YANGTAO on 2019/11/3 0003.
 */
public class BuildBST {
    private Node rootNode = null;
    public Node build(int[] vals){
        // 遍历所有数据,每次都需从根结点开始寻找左或右子节点为空的位置添加
        for (int val : vals) {
            this.assemble(rootNode, val);
        }
        return rootNode;
    }
    private void assemble(Node node, int val){
        // 创建根结点
        if (node == null){
            rootNode = new Node(val);
        }else{
            // 根据左小右大特性判断
            if (val < node.getValue()){
                Node leftNode = node.getLeftChildren();
                // 如果左子结点为空,就添加为当前结点的左结点,否则继续递归下去
                if (leftNode == null){
                    node.setLeftChildren(new Node(val));
                }else{
                    this.assemble(node.getLeftChildren(), val);
                }
            }else{
                Node rightNode = node.getRightChildren();
                // 如果右子结点为空,就添加为当前结点的右结点,否则继续递归下去
                if (rightNode == null){
                    node.setRightChildren(new Node(val));
                }else{
                    this.assemble(rightNode, val);
                }
            }
        }
    }
}

使用[7,5,9,2,11,6]测试是否满足我们创建树的要求:

public static void main(String[] args) {
    int[] vals = {7,5,9,2,11,6};
    Node node = new BuildBST().build(vals);
    System.out.println(new Gson().toJson(node));
}

测试结果满足我们要求

{
    "value": 7,
    "leftChildren": {
        "value": 5,
        "leftChildren": {
            "value": 2
        },
        "rightChildren": {
            "value": 6
        }
    },
    "rightChildren": {
        "value": 9,
        "rightChildren": {
            "value": 11
        }
    }
}

查找

假设从一百万个数字中获取值为88的数据,如果我们使用遍历的方式,最糟的情况就是排在第一百万个位置的时候,需要我们遍历一百万次才能获取到数据,这就是我们最不想遇到的情况。这时将一百万个数据构建成二叉查找树,我们就可通过树快速找到我们想要的数据。
由于设定一百万个数据比较多,这里我们举例当前拥有数据[7,5,9,2,11,6],我们要找出其中的6
使用循环遍历所有数据的方法,我们需要6次遍历 7->5->9->2->11->6。
使用二叉查找树查找时,首先构建好的二叉查找树的结构如图:
构建二叉查找树
从根结点开始查找;
查找根结点
获取根结点7,不等于6,且6<7,所以继续找左子结点;
查找子结点
获取到结点5,不等于6,且6>5,所以继续找右子节点;
查找子结点
最终获取到结点6,满足我们需要的条件。所遍历的数据为 7->5->6。
代码实现查找:

package com.ytao.bst;
/**
 * Created by YANGTAO on 2019/11/3 0003.
 */
public class SearchBST {
    public Node search(Node node, int val){
        // 如果结点为空,说明是没有了符合的结点
        if (node == null)
            return null;
        int nodeVal = node.getValue();
        // 如果结点上的键值相等,就是我们需要找的结点
        if (val == nodeVal){
            return node;
        }else if (val < nodeVal){ // 如果小于结点的值,那么一定在结点的左子树中
            return this.search(node.getLeftChildren(), val);
        }else{
            return this.search(node.getRightChildren(), val);
        }
    }
}

插入

二叉查找树的插入规则,必须是要插入后的结点是作为叶子结点。现在向上面的树中插入10,根据上面所分析到的规则,为确保二叉查找树的完整性,最终的插入流程为7->9->11->10:
插入10的结点
代码实现:

package com.ytao.bst;
/**
 * Created by YANGTAO on 2019/11/3 0003.
 */
public class InsertBST {
    public void inesrt(Node node, int newVal){
        // 当结点为空是,说明是作为根结点
        if (node == null){
            node = new Node(newVal);
        }
        int nodeVal = node.getValue();
        // 如果小于结点的值,插入到左子树中,大于就插入右子树中
        if (newVal < nodeVal){
            Node leftNode = node.getLeftChildren();
            // 为空时,说明为叶子结点,可插入
            if (leftNode == null){
                node.setLeftChildren(new Node(newVal));
            }else {
                this.inesrt(leftNode, newVal);
            }
        }else if (newVal > nodeVal){
            Node  rightNode = node.getRightChildren();
            if (rightNode == null){
                node.setRightChildren(new Node(newVal));
            }else {
                this.inesrt(rightNode, newVal);
            }
        }else {
            // todo 相等时,可根据具体业务处理,放弃,或在左右树中选择一个
        }
    }
}

删除

删除结点分为多种情况,其中主要分析的:

叶子结点

删除叶子结点,将所要删除的叶子结点直接删除便可,比如删除结点6。
删除叶子结点

单子结点的结点

被删除结点,如果只有一个子结点,那么被删除结点删除后,该结点的子结点补上其位置,比如删除结点9。
删除单子结点的结点

存在左右子结点的结点

为了更加清楚表达删除存在左右结点的结点,先向树中多添加3个结点8,10,15。然后删除结点9。
这里的解决方法就是,删除9后,可以用前驱结点或后继结点补上。前驱结点为左子树中最大的结点,后继结点为右子树中最小的结点。
现在以后继结点补上的方案为:
二叉查找树
后继结点补上删除后的结点:
后继结点补上示意图
完成删除,后继结点补充上后:
完成删除后的树
代码实现:

package com.ytao.bst;
/**
 * Created by YANGTAO on 2019/11/3 0003.
 */
public class DeleteBST {
    public Node delete(Node node, int delVal) {
        // 为空时,代表叶子结点
        if (node == null){
            return node;
        }
        int nodeVal = node.getValue();
        Node leftNode = node.getLeftChildren();
        Node rightNode = node.getRightChildren();
        // 删除的结点,与遍历到的当前结点做比较,小于,大于或等于
        if (delVal < nodeVal){
            Node tempLeftNode = delete(leftNode, delVal);
            node.setLeftChildren(tempLeftNode);
        } else if(delVal > nodeVal){
            Node tempRightNode = delete(rightNode, delVal);
            node.setRightChildren(tempRightNode);
        } else {
            // 删除的结点与当前遍历到的结点相等时
            // 并且左结点为空时,返回右结点去补上删除的位置,反则返回左结点补上
            // 说明删除结点为单子结点的情况
            if (leftNode == null){
                return rightNode;
            } else if (rightNode == null){
                return leftNode;
            }
            // 通过查询最小右结点,获取后继结点
            Node minNode = minNode(rightNode);
            int minNodeValue = minNode.getValue();
            node.setValue(minNodeValue);
            // 删除后继结点
            Node tempRightNode = delete(rightNode, minNodeValue);
            node.setRightChildren(tempRightNode);
        }
        return node;
    }
    private Node minNode(Node node) {
        // 一直寻找最小值,知道左子节点为空为止
        Node leftNode = node.getLeftChildren();
        if (leftNode != null)
            return minNode(leftNode);
        return node;
    }
}

至此上面三中情况都予满足。

总结

上面对二叉查找树的操作都已介绍,但是正真使用中,是要结合实际业务进行相关调整来满足自己的需求,不然,一切的优化手段都是假把式。二叉查找树虽然好用,但是它也是有一定要求,在数据量不大的情况下,使用遍历的方式,更加符合我们的要求,所以它使用场景一般是在海量数据的查询,用来提查询效率。

作者:杨滔

来源:https://ytao.top/2019/11/03/5_bst/


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